Question

5．已知圆C：x²+y²-6x-8y-5t=0，直线l：x+3y+15=0．
（1）若直线l被圆C截得的弦长为$2\sqrt{10}$，求实数t的值；
（2）当t=1时，由直线l上的动点P引圆C的两条切线，若切点分别为A，B，则在直线AB上是否存在一个定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直线和圆相交，利用弦长公式进行求解即可．
（2）利用直线和圆相切的条件，建立方程关系进行求解判断．

解答 解：（1）圆C的方程可化为（x-3）²+（y-4）²=25+5t
故圆心为C（3，4），半径$r=\sqrt{25+5t}$
则圆心C到直线l的距离为$d=\frac{|3+12+15|}{{\sqrt{{1^2}+{3^2}}}}=3\sqrt{10}$
又弦长为$2\sqrt{10}$，则$r=\sqrt{{{（3\sqrt{10}）}^2}+{{（\sqrt{10}）}^2}}=10$即$\sqrt{25+5t}=10$，解得t=15…（4分）
（2）当t=1时，圆C的方程为x²+y²-6x-8y-5=0①
则圆心为C（3，4），半径$r=\sqrt{30}＜3\sqrt{10}$，圆C与直线l相离假设在直线AB上存在一个定点满足条件，设动点P（m，n）
由已知得PA⊥AC，PB⊥BC
则A，B在以CP为直径的圆（x-3）（x-m）+（y-4）（y-n）=0
即x²+y²-（3+m）x-（4+n）y+3m+4n=0上②…（7分）
①-②得，直线AB的方程为（m-3）x+（n-4）y-3m-4n-5=0③
又点P（m，n）在直线l上，则m+3n+15=0，即m=-3n-15，代入③式
得（-3n-18）x+（n-4）y+9n+45-4n-5=0
即直线AB的方程为18x+4y-40+n（3x-y-5）=0…（10分）
因为上式对任意n都成立，故$\left\{\begin{array}{l}3x-y-5=0\\ 18x+4y-40=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right.$
故在直线AB上存在一个定点，定点坐标为（2，1）…（12分）

点评 本题主要考查直线和圆相交的弦长的计算和应用，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．