Question

有一块边长为30 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，如果要做成一个容积是1 200 cm³的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少厘米（精确到0.1 cm）？

Answer 1

解析：盒子的体积y和以x为自变量的函数解析式为y=(30-2x)²x.

    如果要做成一个容积是1 200 cm³的无盖盒子，那么有方程(30-2x)²x=1 200,其定义域为{x|0＜x＜15}.

    令f(x)=(30-2x)²x-1 200，借助计算机画出函数图象.由图象可以看出，函数f(x)分别在区间（1，2）和（9，10）内各有一个零点，即方程(30-2x)²x=1 200分别在区间（1，2）和（9，10）内各有一个解.下面用二分法求方程的近似解.

    取区间（1，2）的中点x₁=1.5，用计算器算得f(1.5)=-106.5＜0.

    因为f(1.5)·f(2)＜0，所以x₀∈(1.5,2).

    同理可得x₀∈(1.5,1.75)，x₀∈(1.625,1.75),x₀∈(1.687 5,1.75),x₀∈(1.687 5,1.718 75),x₀∈(1.687 5,1.703 125),x₀∈(1.687 5,1.695 312 5).

    由于|1.695 312 5-1.687 5|=0.007 812 5＜0.1，

    此时区间（1.687 5,1.695 312 5）的两个端点精确至0.1的近似值都是1.7，所以方程在区间（1，2）内精确到0.1的近似解为1.7.同理可得方程在区间（9，10）内精确到0.1的解为9.4.

    故如果要做成一个容积是1 200cm³的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是1.7 cm或9.4 cm.