【题目】已知⊙:
与⊙
:
,以
,
分别为左右焦点的椭圆
:
经过两圆的交点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ),
分别为椭圆
的左右顶点,
,
,
是椭圆
上非顶点的三点,若
∥
,
∥
,试问
的面积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)
的面积为定值3..
【解析】试题分析:(Ⅰ)依题意有,由椭圆定义知
,解得
点值,得出椭圆的方程;
(Ⅱ)由题可知,
,设
,
,把直线
的方程为
与椭圆方程联立,利用根与系数的关系和韦达定理,即可求
面积的定值.
试题解析:(Ⅰ)设两圆的交点为,依题意有
,
由椭圆定义知,解得
;
因为,
分别为椭圆
的左右焦点,所以
,解得
,
所以椭圆的方程为
;
(Ⅱ)解法一 由题可知,
,设
,∵
上的点,
∴,即
,∴
,
∵∥
,
∥
,∴
,
∵、
、
是椭圆
上非顶点的三点,∴直线
的斜率存在且不为零,
设直线的方程为
,
,
,
由,得
,
由,得
(*)
且,
,
∴,
∵,∴
,整理得
,
代入(*)得,
∵
,
原点到直线
的距离
,∴
(定值).
综上所述, 的面积为定值3.(Ⅱ)解法二 同解法一可知,直线
,
的斜率存在且不为零,且
,……6分
设直线的方程为
,则直线
的方程为
,设
,
,
由得
,用
换
可得
,则
,
因为,所以与
异号,
∴(定值).
综上所述, 的面积为定值3.
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【题目】已知二次函数f(x)=2x2﹣4x.
(1)指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标;
(2)用描点法画出它的图象;
(3)求出函数的最值,并分析函数的单调性.
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【题目】已知二次函数且
,且,函数
的图象与直线
相切.
(1)求的解析式;
(2)若当时,
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)是否存在区间,使得
在区间
上的值域恰好为
?若存在,请求出区间
,若不存在,请说明理由.
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【题目】某省高考改革新方案,不分文理科,高考成绩实行“”的构成模式,第一个“3”是语文、数学、外语,每门满分150分,第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试,每门满分100分,高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况,将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体
,从学生群体
中随机抽取了50名学生进行调查,他们选考物理,化学,生物的科目数及人数统计如下表:
(I)从所调查的50名学生中任选2名,求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率;
(II)从所调查的50名学生中任选2名,记表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值,求随机变量
的分布列和数学期望;
(III)将频率视为概率,现从学生群体中随机抽取4名学生,记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作
,求事件“
”的概率.
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【题目】如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图2所示的几何体.
(Ⅰ)求证:AB⊥平面ADC;
(Ⅱ)若AD=2,直线CA与平面ABD所成角的正弦值为,求二面角E-AD-C的余弦值.
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【题目】已知下图中,四边形 ABCD是等腰梯形, ,
,
于M、交EF于点N,
,
,现将梯形ABCD沿EF折起,记折起后C、D为
、
且使
,如图示.
(Ⅰ)证明:
平面ABFE;,
(Ⅱ)若图6中, ,求点M到平面
的距离.
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【题目】已知椭圆与抛物线
共焦点
,抛物线上的点M到y轴的距离等于
,且椭圆与抛物线的交点Q满足
.
(I)求抛物线的方程和椭圆的方程;
(II)过抛物线上的点作抛物线的切线
交椭圆于
、
两点,设线段AB的中点为
,求
的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=bax(其中a,b为常量,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)求f(x)的表达式;
(2)设函数g(x)=f(x)﹣2×3x , 求g(x+1)>g(x)时x的取值范围.
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