Question

4．椭圆经过点（3，0），且离心率是$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，则该椭圆的标准方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{81}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1或$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{81}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1或$\frac{{x}^{2}}{81}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1

Answer 1

分析 由题意分椭圆焦点在x轴或y轴分类设出椭圆的标准方程，并得到a（或b）的值，结合已知条件即可求得答案．

解答 解：当椭圆焦点在x轴上时，设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，
则a=3，又$\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，得c=2$\sqrt{2}$，
∴b²=a²-c²=1，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$；
当椭圆焦点在y轴上时，设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
则b=3，又$\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，a²=b²+c²，联立解得a²=81，b²=9，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{81}=1$．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1或$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{81}$=1．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的标准方程，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．