Question

16．P（3cosθ，sinθ）是锐角α终边上一点，其中0＜θ＜$\frac{π}{2}$．记y=θ-α，则 y的最大值是（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 依题意可求tanα=$\frac{1}{3}$tanθ，利用两角和的正切函数公式，基本不等式可得，利用正切函数的图象和性质即可解得函数y=θ-α（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）的最大值．

解答 解：依题意，$-\frac{π}{2}＜y＜\frac{π}{2}$，
$tanα=\frac{sinθ}{3cosθ}=\frac{1}{3}tanθ$，
故$tany=tan（θ-α）=\frac{{tanθ-\frac{tanθ}{3}}}{{1+\frac{{{{tan}^2}θ}}{3}}}$=$\frac{2}{3}•\frac{1}{{\frac{1}{tanθ}+\frac{tanθ}{3}}}≤\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
当且仅当$θ=\frac{π}{3}$时y_max=$\frac{π}{6}$，
故选：A．

点评 本题主要考查了任意角的三角函数的定义，两角和的正切函数公式，基本不等式，正切函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，考查了计算能力，属于中档题．