Question

12．如图所示，已知圆O的一条直径为AB，PE是圆O的一条切线，E为切点，PC是圆O的一条割线，且交圆O于C，D两点，AB交PC于F，BE交PC于G，△AFC∽△ACB．
（1）求证：∠PEG=∠PGE；
（2）若PG=5，PD=3，求DC的长度．

Answer 1

分析 （1）连接AE，则AE⊥BE，证明∠PEG=∠EAB，∠BGF=∠EAB，即可证明：∠PEG=∠PGE；
（2）若PG=5，PD=3，由切割线可得PE²=PD•PC，即可求DC的长度．

解答 （1）证明：连接AE，则AE⊥BE．
∵PE是圆O的一条切线，
∴∠PEG=∠EAB．
∵△AFC∽△ACB，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠ACF+∠BAC=90°，
∴CF⊥AB．
∴∠BGF=∠EAB，
∵∠BGF=∠PGE，
∴∠PEG=∠PGE；
（2）解：由（1）可知PE=PG，
∴由切割线可得PE²=PD•PC，
∵PG=5，PD=3，
∴5²=3•（3+CD），
∴CD=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查切割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．