Question

4．已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形，且PA=PB=PC=PD=$\sqrt{3}$．若其外接球半径为2，则四棱锥P-ABCD的高为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，设出棱锥的底面边长，找出棱锥外接球的球心，然后通过分类求解直角三角形得答案．

解答 解：如图，

由题意可知，四棱锥P-ABCD是正四棱锥，过P作PM⊥平面ABCD，垂足为M，
则M是底面正方形的中心，设底面边长为a，则AC=$\sqrt{2}a$，MC=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
作PC的垂直平分线角PM于O，∴O为四棱锥外接球的球心，连接OC，
在Rt△PMC中，∵PC=$\sqrt{3}$，MC=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，∴PM=$\sqrt{3-\frac{1}{2}{a}^{2}}$，
在Rt△PMC中，∵OC=2，MC=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，∴OM=$\sqrt{4-\frac{1}{2}{a}^{2}}$，
则$\sqrt{3-\frac{1}{2}{a}^{2}}=2-\sqrt{4-\frac{1}{2}{a}^{2}}$①，或$\sqrt{3-\frac{1}{2}{a}^{2}}=2+\sqrt{4-\frac{1}{2}{a}^{2}}$②，
解①得：${a}^{2}=\frac{39}{8}$，代入PM=$\sqrt{3-\frac{1}{2}{a}^{2}}$，得PM=$\frac{3}{4}$；解②得：a不存在．
∴四棱锥P-ABCD的高为$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力和运算能力，是中档题．