Question

9．如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求二面角B-AD-E的大小．

Answer 1

分析 （1）连接BD，由∠CDE=∠BED=90°，DE=BE=1，CD=2，可得BD=$\sqrt{2}$，∠BDE=45°，∠BDC=45°，利用余弦定理可得：BC²=2，利用AC²+BC²=AB²，可得AC⊥BC，利用面面垂直的性质定理可得AC⊥平面BCDE．
（2）以D为原点，分别以DE，DC为x，y轴的正半轴，与CA平行的直线为z轴，设平面ADE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$．设平面ABD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\end{array}\right.$，可得取$\overrightarrow{n}$，利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （1）证明：连接BD，∵∠CDE=∠BED=90°，DE=BE=1，CD=2，∴BD=$\sqrt{D{E}^{2}+D{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$，∠BDE=45°，
∴∠BDC=45°，∴BC²=${2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}$-$2×2×\sqrt{2}×cos4{5}^{°}$=2，
∴AC²+BC²=AB²=4，∴AC⊥BC，∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，∴AC⊥平面BCDE．
（2）解：以D为原点，分别以DE，DC为x，y轴的正半轴，与CA平行的直线为z轴，如图，D（0，0，0），E（1，0，0），A（0，2，$\sqrt{2}$），
B（1，1，0），$\overrightarrow{DA}$=（0，2，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{DE}$=（1，0，0）．
设平面ADE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2{y}_{1}+\sqrt{2}{z}_{1}=0}\\{{x}_{1}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=$（0，1，-\sqrt{2}）$．
设平面ABD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2{y}_{2}+\sqrt{2}{z}_{2}=0}\\{{x}_{2}+{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=$（1，-1，\sqrt{2}）$．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-3}{2\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由图可知：二面角B-AD-E的平面角为锐角，
∴二面角B-AD-E的大小为30^°．

点评 本题考查了空间位置关系空间角、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系、勾股定理与逆定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．