Question

17．2+2²+2³…+2^5n-1+a被31除所得的余数为3，则a的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据等比数列的前n项和公式先进行化简，结合二项展开式的应用进行求解即可．

解答 解：2+2²+2³…+2^5n-1+a=$\frac{2（1-{2}^{5n-1}）}{1-2}$+a=2⁵ⁿ-2+a=32ⁿ-2+a=（31+1）ⁿ-2+a
=31ⁿ+C${\;}_{n}^{1}$•31^n-1+C${\;}_{n}^{2}$•31^n-2+…+C${\;}_{n}^{n-1}$•31+1-2+a
=31（31^n-1+C${\;}_{n}^{1}$•31^n-2+C${\;}_{n}^{2}$•31^n-2+…+C${\;}_{n}^{n-1}$）+a-1，
若2+2²+2³…+2^5n-1+a被31除所得的余数为3，
则a-1=3，即a=4，
故选：D．

点评 本题主要考查二项展开式的应用，根据等比数列的前n项和公式先进行化简是解决本题的关键．