Question

3．在体积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为$\sqrt{7}，\sqrt{19}$．

Answer 1

分析 由已知求得△BCD的面积，再由面积公式求得sinB，进一步求得cosB，再由余弦定理求得CD长度．

解答 解：如图，

在四面体ABCD中，∵AB⊥平面BCD，∴AB为以BCD为底面的三棱锥的高，
∵${V}_{A-BCD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，AB=1，∴由$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•AB=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得${S}_{△BCD}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
又BC=2，BD=3，得$\frac{1}{2}×2×3×sinB=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴cosB=$±\frac{1}{2}$．
当cosB=$\frac{1}{2}$时，CD²=2²+3²-2×2×3×$\frac{1}{2}$=7，则CD=$\sqrt{7}$；
当cosB=-$\frac{1}{2}$时，CD²=2²+3²-2×2×3×（$-\frac{1}{2}$）=19，则CD=$\sqrt{19}$．
∴CD长度的所有值为$\sqrt{7}$，$\sqrt{19}$．
故答案为：$\sqrt{7}$，$\sqrt{19}$．

点评 本题考查棱锥的结构特征，考查了棱锥的体积公式，训练了余弦定理的应用，是中档题．