Question

在锐角△ABC中，BC=5，sinA=

4

5

．
（1）如图1，求△ABC外接圆的直径；
（2）如图2，点I为△ABC的内心，BA=BC，求AI的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：解三角形,立体几何

分析：（1）根据正弦定理，结合锐角△ABC中，BC=5，sinA=

4

5

，可得△ABC外接圆的直径；
（2）连接BI，交延长交AC于E，根据等腰三角形三线合一可得：E为BC的中点，且BE⊥AC，结合已知和勾股定理可得BE，AE，CE的长，进而根据等积法，求出△ABC内切圆半径IE的长，再由勾股定理可得答案．

解答： 解：（1）∵锐角△ABC中，BC=5，sinA=

4

5

．
∴△ABC外接圆的直径2R满足：2R=

BC

sinA

=

5

4 5

=

25

4

，
（2）连接BI，交延长交AC于E，

∵BA=BC=5，
∴E为AC的中点，且BE⊥AC，
∵sinA=

4

5

．
∴BE=4，
由勾股定理得：AE=CE=3，
此时△ABC的面积S=

1

2

×（3+3）×4=

1

2

×（3+3+5+5）×IE，
故IE=

3

2

，
∴AI=

AE2+IE2

=

3

2

5

点评：本题考查的知识点是正弦定理，三角形面积公式，难度不是特别大，属于中档题．