Question

1．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=bcosA，则$2sinB-\sqrt{2}cosC$的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 利用正弦定理以及两角和的正弦函数求出A的值，通过内角和化简所求表达式为B的三角函数，然后求出表达式的最大值．

解答 解：由asinB=bcosA以及正弦定理可知sinAsinB=sinBcosA，⇒A=$\frac{π}{4}$，
∴$2sinB-\sqrt{2}cosC$
=2sinB-$\sqrt{2}$cos（$\frac{3π}{4}$-B）
=2sinB-$\sqrt{2}$（cos$\frac{3π}{4}$cosB+sin$\frac{3π}{4}$sinB）
=2sinB+$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosB-$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinB
=2sinB+cosB-sinB
=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$+B）．
∴$2sinB-\sqrt{2}cosC$的最大值为$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查正弦定理的应用，三角函数中的恒等变换的应用，考查计算能力．