Question

已知与抛物线x²=4y有相同的焦点的椭圆E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上下顶点分别为A（0，2），B（0，-2），过（0，1）的直线与椭圆E交于M，N两点，与抛物线交于C，D两点，过C，D分别作抛物线的两切线l₁，l₂．
（1）求椭圆E的方程并证明l₁⊥l₂．
（2）当k_MN=2时求△AMN面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由抛物线x²=4y，可得焦点（0，1）．c=1，由椭圆E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上下顶点分别为A（0，2），B（0，-2），可得a=2，再利用b²=a²-c²．即可得出椭圆的方程．设直线l的方程为y=kx+1，与抛物线的方程联立可得x²-4kx-4=0．设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．由x²=4y，利用导数的运算法则可得y′=

1

2

x，即可得出kl1•kl2．
（2）设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）．直线MN的方程为：y=2x+1．与椭圆的方程联立可得16x²+12x-9=0．再利用根与系数的关系和弦长公式|MN|=

(1+22)[(x3+x4)2-4x3x4]

、点到直线的距离公式、三角形的，面积计算公式即可得出．

解答： 解：（1）由抛物线x²=4y，可得焦点（0，1）．
∴c=1，
由椭圆E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上下顶点分别为A（0，2），B（0，-2），
可得a=2，∴b²=3．
∴椭圆E的方程为：

y2

4

+

x2

3

=1．
设直线l的方程为y=kx+1，联立

y=kx+1 x2=4y

，化为x²-4kx-4=0．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．则x₁x₂=-4．
由x²=4y，可得y′=

1

2

x，
∴kl1•kl2=

1

2

x1•

1

2

x2=

1

4

x1x2=

1

4

×(-4)=-1．
∴l₁⊥l₂．
（2）设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）．直线MN的方程为：y=2x+1．
联立

y=2x+1 y2 4 + x2 3 =1

，化为16x²+12x-9=0．
∴x₃+x₄=-

3

4

，x₃x₄=-

9

16

．
∴|MN|=

(1+22)[(x3+x4)2-4x3x4]

=

5×[(- 3 4 )2-4×(- 9 16 )]

=

15

4

．
点A到直线l的距离d=

|0-2+1|

5

=

5

5

．
∴△AMN面积S=

1

2

|MN|•d=

1

2

×

15

4

×

5

5

=

3 5

8

．

点评：本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、导数的几何意义、切线的斜率、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．