Question

已知四面体P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=

3

AB，若四面体P-ABC的体积为

3

2

，则该球的表面积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=

3

AB=

3

×2R，故AC=

3

R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的表面积．

解答： 解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=

3

AB=

3

×2R，
∴AC=

3

R，
由于AB是球的直径，
所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC²=AB²-AC²=R²，
所以Rt△ABC面积S=

1

2

×BC×AC=

3

2R2

，
又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P-ABC的体积为

3

2

，
∴V_P-ABC=

1

3

×R×

3

2

×R²=

3

2

，
即

3

R³=9，R=

3

，
所以：球表面积S_球=4πR²=12π．
故答案为：12π．

点评：本题考查四面体的外接球的表面积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．