Question

在三棱锥S-ABC中，△ABC是等腰三角形，AB=BC=2a，∠ABC=120°，且SA⊥平面ABC，SA=3a，求点A到平面SBC有距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：计算题,解三角形,空间位置关系与距离

分析：运用余弦定理，求出AC，运用勾股定理求出SB，SC，再由余弦定理，求得cos∠SBC，再求sin∠SBC，再由面积公式，求得△SBC的面积，设点A到平面SBC有距离为d，再由V_S-ABC=V_A-SBC，运用体积公式，即可计算得到d．

解答： 解：由于△ABC是等腰三角形，AB=BC=2a，∠ABC=120°，
则AC=

AB2+BC2-2AB•CB•cos120°

=

4a2+4a2+4a2

=2

3

a，
SA⊥平面ABC，
则SA⊥AB，SA⊥AC，
则SB=

SA2+AB2

=

9a2+4a2

=

13

a，
SC=

AS2+AC2

=

21

a，
则三角形SBC中，cos∠SBC=

12a2+4a2-21a2

2×2 3 ×2a2

=-

5 3

24

．
则sin∠SBC=

1-( -5 3 24 )2

=

501

24

，
即有S_△SBC=

1

2

SB•BC•sin∠SBC=

1

2

×2

3

a×2a×

501

24

=

167

4

a2，
则设点A到平面SBC有距离为d，
则由V_S-ABC=V_A-SBC，
即有

1

3

SA•

1

2

AB•BC•sin∠ABC=

1

3

d•S_△SBC，
即有d=

3a• 1 2 •2a•2a• 3 2

167 4 a2

=

12 501

167

a．
即有点A到平面SBC有距离为

12 501

167

a．

点评：本题考查空间线面垂直的性质及运用，考查勾股定理和余弦定理、面积公式的运用，考查棱锥体积的转换和公式的运用，属于中档题．