Question

已知x满足不等式2（log

1

2

x）²+3≤log

1

2

x⁷，求函数f（x）=log

1

2

（2x）•log

1

2

（4x）的最值及相应的x的取值．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,二次函数在闭区间上的最值

专题：不等式的解法及应用

分析：令t=log

1

2

x，由条件可得（2t-1）（t-3）≤0，求得t的范围，可得x的范围．由函数f（x）=g（t）=（-1+t）（-2+t）=(t-

3

2

)2-

1

4

，再利用二次函数的性质求得f（x）的最值及相应的x的取值．

解答： 解：不等式2（log

1

2

x）²+3≤log

1

2

x⁷，等价于 2（log

1

2

x）²+3-7log

1

2

x≤0，令t=log

1

2

x，
∴（2t-1）（t-3）≤0，∴

1

2

≤t≤3，∴

1

8

≤x≤

2

2

．
则函数f（x）=log

1

2

（2x）•log

1

2

（4x）=g（t）=（-1+t）（-2+t）=(t-

3

2

)2-

1

4

，
故当t=

3

2

，即x=

2

4

时，f（x）=g（t）取得最小值为-

1

4

；当t=3，即x=

1

8

时，f（x）=g（t）取得最大值为2．

点评：本题主要考查对数不等式的解法，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．