Question

若直线l：x+2y-3=0与圆x²+y²-2mx+m=0相交于P，Q两点，并且OP⊥OQ，求实数m的值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．把直线方程与圆的方程联立可得一元二次方程的根与系数的关系，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．

解答： 解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立

x+2y-3=0 x2+y2-2mx+m=0

，化为5x²-（8m+6）x+9+4m=0．
△=（8m+6）²-80m＞0，
16m²+4m+9＞0．（*）
∴x₁+x₂=

8m+6

5

，x₁x₂=

9+4m

5

．
∴y₁y₂=

3-x1

2

×

3-x2

2

=

1

4

[9-3(x1+x2)+x1x2]=

9-5m

5

．
∵

OP

⊥

OQ

，
∴

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=

9+4m

5

+

9-5m

5

=0，
解得m=18．满足（*）．
∴m=18．

点评：本题考查了直线与圆相交转化为方程联立可得一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．