Question

【题目】已知函数f（x）=ax﹣lnx，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=e2 ， 当x∈（0，e]时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=a﹣ = （x＞0），①当a≤0时，由于x＞0，故ax﹣1＜0，f'（x）＜0，
所以，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），
②当a＞0时，由f'（x）=0，得x= ，
在区间（0， ）上，f'（x）＜0，在区间（ ，+∞）上，f'（x）＞0，
所以，函数f（x）的单调递减区间为（0， ），
单调递增区间为（ ，+∞），
综上，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0， ），单调递增区间为（ ，+∞）；
（Ⅱ）a=e2时，f（x）=e2x﹣lnx，f′（x）= （e2x﹣1），（x＞0），
∵e2＞0，由（Ⅰ）得：
f（x）在（0， ）递减，在（ ，+∞）递增，
∴f（x）min=f（ ）=3．
【解析】（Ⅰ）由此根据a≤0，a＞0进行分类讨论，结合导数性质求出当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0， ），单调递增区间为（ ，+∞）；（Ⅱ）求出函数的导数，得到f（x）的单调区间，求出f（x）的最小值即可．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．