Question

已知函数f(x)=

lnx

x

+

1

x

（Ⅰ）若函数在区间（m，m+

1

3

）（其中m＞0）上存在极值，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式f(x)≥

k

x+1

恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证：[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数f(x)=

lnx

x

+

1

x

的极值，在探讨函数在区间 （m，m+

1

3

）（其中a＞0）上存在极值，寻找关于m的不等式，求出实数m的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式 f(x)≥

k

x+1

恒成立，求出f（x）在x≥1时的最小值，把k分离出来，转化为求k的范围．
（Ⅲ）借助于（Ⅱ）的结论根据叠加法证明不等式．

解答：解：（Ⅰ）因为函数f(x)=

lnx

x

+

1

x

所以f′（x）=-

lnx

x2

．极值点为f′（x）=0解得x=1
故m＜1＜m+

1

3

，解得

2

3

＜m＜1．
即答案为

2

3

＜m＜1．
（Ⅱ）如果当x≥1时，f′（x）=-

lnx

x2

≤0故f（x）递碱．
故f（x）≥f（1）=1
又不等式f(x)≥

k

x+1

恒成立，
所以

k

x+1

≤1恒成立，所以k≤2
证明：（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f(x)＞

2

x+1

恒成立，
即 lnx≥

x-1

x+1

=1-

2

x+1

＞1-

2

x

令x=n（n+1），则ln[n(n+1)]＞1-

2

n(n+1)

所以 ln(1×2)＞1-

2

1×2

，
 ln(2×3)＞1-

2

2×3

，
ln(3×4)＞1-

2

3×4

，
…
 ln[n(n+1)]＞1-

2

n(n+1)

．
叠加得：ln[1×2²×3²×…n²×（n+1）]×

1

n(n+1)

]
=n-2(1-

1

n+1

)＞n-2+

1

n+1

＞n-2
则1×2²×3²×…n²×（n+1）＞e^n-2，
所以：[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）．

点评：此题主要考查应用导数研究函数的极值最值问题，有关恒成立的问题一般采取分离参数，转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，证明数列不等式，借助函数的单调性或恒成立问题加以证明．属难题．