Question

18．一条光线从点A（-4，0）射入，与直线y=3相交于点B（-1，3），经直线y=3反射后过点C（m，-1），直线l过点C且分别与x轴和y轴的负半轴交于P，Q两点，O为坐标原点，则当△OPQ的面积最小时直线l的方程为（　　）

• A． $\frac{x}{4}$-$\frac{y}{4}$=1
• B． $\frac{x}{2}$-$\frac{y}{6}$=1
• C． $\frac{x}{6}$-$\frac{y}{2}$=1
• D． $\frac{x}{12}$-$\frac{3y}{4}$=1

Answer 1

分析 求出C的坐标，利用基本不等式，即可求出当△OPQ的面积最小时直线l的方程．

解答 解：直线AB的斜率为1，则反射光线所在的直线方程为y-3=-（x+1），
代入点C得m=3，即C（3，-1）．
设直线l的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＜0），则S_△OPQ=$\frac{1}{2}ab$，且$\frac{3}{a}+\frac{1}{-b}$=1≥2$\sqrt{\frac{3}{-ab}}$，即有-ab≥12，
当且仅当$\frac{3}{a}=\frac{1}{-b}$，即a=6，b=-2等号成立，此时S_△OPQ取最小值6，直线l的方程为$\frac{x}{6}-\frac{y}{2}$=1
故选：C．

点评 考查用截距式求直线方程的方法，基本不等式的应用，正确运用基本不等式是解题的关键．