Question

7．设定义在[-2，2]上的函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，且f（1-m）＜f（3m）．
（1）若函数f（x）在区间[-2，2]上是奇函数，求实数m的取值范围．
（2）若函数f（x）在区间[-2，2]上是偶函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化建立不等式组进行求解即可．
（2）根据函数是偶函数将不等式进行转化求解即可．

解答 解（1）因为函数f（x）在区间[-2，2]上是奇函数且在区间[0，2]上单调递减，
所以函数f（x）在[-2，2]上单调递减，
则$\left\{\begin{array}{l}-2≤1-m≤2\\-2≤3m≤2\\ 1-m＞3m\end{array}\right.$，可以得出$-\frac{2}{3}≤m＜\frac{1}{4}$．…（6分）
（2）因为函数f（x）在区间[-2，2]上是偶函数且在区间[0，2]上单调递减，
所以函数f（x）在[-2，0]上单调递增，
则$\left\{\begin{array}{l}-2≤1-m≤2\\-2≤3m≤2\\|1-m|＞|3m|\end{array}\right.$，
可以得出$-\frac{1}{2}≤m＜\frac{1}{4}$．（12分）

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．