Question

3．已知某服装厂每天的固定成本是30000元，每天最大规模的生产量是m件．每生产一件服装，成本增加100元，生产x件服装的收入函数是R（x）=-$\frac{1}{3}$x²+400x，记L（x），P（x）分别为每天生产x件服装的利润和 平均利润（平均利润=$\frac{总利润}{总产量}$）．
（1）当m=500时，每天生产量x为多少时，利润L（x）有最大值；
（2）每天生产量x为多少时，平均利润P（x）有最大值，并求P（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据利润=销售收入-成本，结合销售收入函数，利用配方法，即可得出结论；
（2）求出平均利润P（x），利用导数知识，确定函数的单调性，即可求出最大值．

解答 解：（1）依题意得利润L（x）=-$\frac{1}{3}$x²+400x-100x-30000=-$\frac{1}{3}$x²+300x-30000，x∈（0，500]，…（2分）
∴L（x）=-$\frac{1}{3}$（x-450）²+37500，x∈（0，500]，…（4分）
∵x∈（0，500]，∴当x=450时，L（x）有最大值…（5分）
（2）依题意得P（x）=-$\frac{1}{3}$（x+$\frac{90000}{x}$）+300，0＜x≤m…（7分）
P′（x）=-$\frac{{x}^{2}-90000}{3{x}^{2}}$，0＜x≤m…（8分）
当x∈（0，300）时，P'（x）＞0，P（x）在（0，300）递增，
当x∈（300，+∞）时，P'（x）＜0，P（x）在（300，+∞）递递减，…（10分）
所以当0＜m＜300时，x=m时，P（x）取得最大值为（300-$\frac{m}{3}$-$\frac{30000}{m}$）元；当m≥300时，x=300时，P（x）取得最大值为100元…（12分）

点评 本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，解题的关键是正确构建函数，利用导数知识求解．