Question

11．若函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+bx+c有极值点x₁，x₂（x₁＞x₂），f（x₁）=x₁，则关于x的方程[f（x）]²+2af（x）+b=0的不同实数根的个数是3．

Answer 1

分析 首先对f（x）求导，则关于x的方程[f（x）]²+2af（x）+b=0，则有f（x）=x₁ 或 f（x）=x₂； 再利用方程的根与图形交点的关系来判断交点个数．

解答 解：对f（x）求导得：f'（x）=x²+2ax+b；
f（x）有极值点x₁，x₂ 对应于f'（x）=0的两个零点；
关于x的方程[f（x）]²+2af（x）+b=0，则有f（x）=x₁ 或 f（x）=x₂；
由图形知y=x₁ 与f（x）有2个交点；
∵x₁＞x₂，故y=x₂ 与f（x）有1个交点；
故答案为：3

点评 本题主要考查了方程与函数的转化关系与根个数问题，以及数学结合思想的应用，属中等偏上题．