【题目】（题文）随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”的赞成人数如下表：
年龄（单位：岁） | [15,25） | [25,35） | [35,45） | [45,55） | [55,65） | [65,75） |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面
列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关.
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成的人数 | |||
不赞成的人数 | |||
合计 |
（2）若从年龄在[25,35）和[55,65）的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求3人中至少有1人年龄在[55,65）的概率.
参考公式：
，
.
参考数据：
| 0.100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
【答案】(1)答案见解析；(2)
.
【解析】
（1）根据条件得
列联表：
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成的人数 | 10 | 27 | 37 |
不赞成的人数 | 10 | 3 | 13 |
合计 | 20 | 30 | 50 |
根据列联表所给的数据，计算得到
的观测值为
.
所以有
的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关.
（2）由分层抽样可知：
[55,65）（岁）抽取
（人）；
[25,35）（岁）抽取
（人）.
年龄在[55,65）（岁）记为
，年龄在[25,35）（岁）记为
，则从6人中任取3人的所有情况为：
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
，共20种情况，
其中至少有一人年龄在[55,65）岁的情况有： 、、、、、、、、、、、、、、、，共16种情况.
记至少有一人年龄在[55,65）岁为事件
，则
.
故至少有一人年龄在[55,65）岁的概率为.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】扇形AOB中心角为
，所在圆半径为
，它按如图(Ⅰ)(Ⅱ)两种方式有内接矩形CDEF．
(1)矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，设
；
(2)点M是圆弧AB的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设
；
试研究(1)(2)两种方式下矩形面积的最大值，并说明两种方式下哪一种矩形面积最大？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】设函数
，
，给定下列命题：
①若方程
有两个不同的实数根，则
；
②若方程
恰好只有一个实数根，则
；
③若
，总有
恒成立，则
；
④若函数
有两个极值点，则实数
.
则正确命题的个数为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，已知圆
的圆心坐标为
，半径为
，以坐标原点为极点， 
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线
的参数方程为： 
（
为参数）
(1)求圆
和直线
的极坐标方程；
(2)点
的极坐标为
，直线
与圆
相较于
,求
的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆
，点
是椭圆
上的任意一点，直线
过点
且是椭圆的“切线”.
（1）证明：过椭圆上的点的“切线”方程是
；
（2）设
，
是椭圆长轴上的两个端点，点不在坐标轴上，直线
，
分别交
轴于点
，
，过的椭圆的“切线”交轴于点
，证明：点是线段
的中点；
（3）点不在
轴上，记椭圆的两个焦点分别为
和
，判断过的椭圆的“切线”与直线
，
所成夹角是否相等？并说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图所示，在
中，
，
，
与
相交于点M.设
，
.
（1）试用向量
表示
.
（2）在线段
上取点E，在线段
取点F，使
过点M.设
，
，其中
当与重合时，
，
，此时
；当与重合时，
，
，此时.能否由此得出般结论：不论
在线段
上如何变动，等式恒成立，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为 (参考数据：
，
，
)
A. 
B. 
C. 
D. 
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【题目】某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值
为
，当
时,产品为一级品；当
时，产品为二级品，当
时，产品为三级品，现用两种新配方(分别称为
配方和
配方)做实验，各生产了100件这种产品，
并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：(以下均视频率为概率)
配方的频数分配表
指标值分组 |
|
|
|
|
频数 | 10 | 30 | 40 | 20 |
配方的频数分配表
指标值分组 |
|
|
|
|
|
频数 | 5 | 10 | 15 | 40 | 30 |
（Ⅰ）若从配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的配方产品中至少1件二级品”为事件
，求事件发生的概率
；
（Ⅱ）若两种新产品的利润率
与质量指标满足如下关系：
其中
，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线
的极坐标方程是
，以极点为原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
过点
，倾斜角为
.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程与直线的参数方程；
（Ⅱ）设直线与曲线交于
两点，求
的值.
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