Question

【题目】设函数，，给定下列命题：

①若方程有两个不同的实数根，则；

②若方程恰好只有一个实数根，则；

③若，总有恒成立，则；

④若函数有两个极值点，则实数.

则正确命题的个数为（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用导数研究函数的单调性，零点，极值以及恒成立问题.

对于①，的定义域，，

令有即，可知在单调递减，在单调递增，，且当时，又，

从而要使得方程有两个不同的实根，即与有两个不同的交点，

所以，故①正确

对于②，易知不是该方程的根，

当时，，方程有且只有一个实数根，等价于和

只有一个交点，，又且，令，即，有，知在和单减，在上单增，是一条渐近线，极小值为。

由大致图像可知或，故②错

对于③ 当时，

恒成立，

等价于恒成立，

即函数在上为增函数，

即恒成立，

即在上恒成立，

令，则，

令得，有，

从而在上单调递增，在上单调递减，

则，

于是，故③正确.

对于④ 有两个不同极值点，

等价于有两个不同的正根，

即方程有两个不同的正根，

由③可知，，即，则④正确.

故正确命题个数为3，故选.