【题目】已知五面体ABCDEF中,四边形CDEF为矩形,,CD=2DE=2AD=2AB=4,AC=
,
.
(1)求证:AB平面ADE;
(2)求平面EBC与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析; (2).
【解析】
(1)根据勾股定理得,再根据线面垂直判定定理得结果,(2)先根据条件证得直线DE,DA,DC两两互相垂直,再建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解得平面EBC和平面BCF法向量,利用向量数量积得法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角关系得结果.
(1)因为 ,
,所以
因为四边形CDEF为矩形,所以,
因为,
所以
,
因为,所以
(2)因为 ,
,所以
,
由(1)得,所以直线DE,DA,DC两两互相垂直,
故以点D为坐标原点,分别以正方向为
轴正方向建立空间直角坐标系,
则E(0,0,2)A(2,0,0),C(0,4,0),B(2,2,0),F(0,4,2),
设平面EBC和平面BCF法向量分别为,
,
则,所以
,
取得
,
同理,所以
取得
设所求角为,则
,即所求锐二面角的余弦值为
.
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【题目】设函数,
,给定下列命题:
①若方程有两个不同的实数根,则
;
②若方程恰好只有一个实数根,则
;
③若,总有
恒成立,则
;
④若函数有两个极值点,则实数
.
则正确命题的个数为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】公元263年左右,我国数学家刘徽发现,当圆内接多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,由此创立了割圆术,利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14,这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,则输出的n值为 (参考数据:,
,
)
A. B.
C.
D.
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【题目】某种产品的质量以其质量指标值来衡量,质量指标值越大表明质量越好,记其质量指标值
为,当
时,产品为一级品;当
时,产品为二级品,当
时,产品为三级品,现用两种新配方(分别称为
配方和
配方)做实验,各生产了100件这种产品,
并测量了每件产品的质量指标值,得到下面的试验结果:(以下均视频率为概率)
配方的频数分配表
指标值分组 | ||||
频数 | 10 | 30 | 40 | 20 |
配方的频数分配表
指标值分组 |
| ||||
频数 | 5 | 10 | 15 | 40 | 30 |
(Ⅰ)若从配方产品中有放回地随机抽取3件,记“抽出的
配方产品中至少1件二级品”为事件
,求事件
发生的概率
;
(Ⅱ)若两种新产品的利润率与质量指标
满足如下关系:
其中
,从长期来看,投资哪种配方的产品平均利润率较大?
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【题目】玉山一中篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试,“立定投篮”和“三步上篮”各有2次投篮机会,先进行“立定投篮”测试,如果合格才能参加“三步上篮”测试.为了节约时间,每项测试只需且必须投中一次即为合格.小华同学“立定投篮”的命中率为,“三步上篮”的命中率为
.假设小华不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中相互独立.
(1)求小华同学两项测试均合格的概率;
(2)设测试过程中小华投篮次数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
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【题目】已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数.当x≥0时,,若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0,a,b∈R有且仅有6个不同实数根,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是
,以极点为原点,极轴为
轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线
过点
,倾斜角为
.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程与直线
的参数方程;
(Ⅱ)设直线与曲线
交于
两点,求
的值.
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【题目】已知在平面直角坐标系中,椭圆C:
离心率为
,其短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)如图,A为椭圆C的左顶点,P,Q为椭圆C上两动点,直线PO交AQ于E,直线QO交AP于D,直线OP与直线OQ的斜率分别为,
,且
,
,
(
为非零实数),求
的值.
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