Question

已知A、B是抛物线y²=2px（p＞0）上的两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），求证：
（1）A、B两点的横坐标之积为定值；
（2）直线AB经过定点．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）OA⊥OB时，设直线AB：x=my+n，代入抛物线方程，可得y²-2pmy-2pn=0，利用OA⊥OB，即可证明A、B两点的横坐标之积为定值；
（2）由（1）知，直线AB：x=my+2p过定点（2p，0）．

解答： 证明：（1）OA⊥OB时，设直线AB：x=my+n．
代入抛物线方程，可得y²-2pmy-2pn=0，
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=

(y1y2)2

4p2

+y₁y₂=0，
∴y₁y₂=-4p²=-2pn，
∴n=2p，
∴x₁x₂=4p²；
（2）由（1）知，直线AB：x=my+2p过定点（2p，0）．

点评：本题考查抛物线方程，考查学生的计算能力，考查直线与抛物线的位置关系，比较基础．