Question

已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），C（1，-2），

OP

=

OA

+λ

AB

．
（1）当λ=2时，求

OP

的坐标；
（2）若

OP

⊥

OC

，且向量

OD

=（2+t，

2

t

），其中t∈（0，+∞），求

OP

•

OD

的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）将λ代入，利用向量相等得到所求；
（2）利用

OP

⊥

OC

，解得λ值，求出

OP

•

OD

的解析式，利用基本不等式求最大值．

解答： 解：（1）由已知

OA

=（1，2），

AB

=（3，3），λ=2，则

OP

=

OA

+2

AB

=（1，2）+2（3，3）=（7，8）．所以

OP

=（7，8）；
（2）若

OP

⊥

OC

，

OP

•

OC

=0，

OP

=

OA

+λ

AB

=（1+3λ，2+3λ）．
所以1+3λ-2（2+3λ）=0，即λ=-1，所以

OP

=（-2，-1），向量

OD

=（2+t，

2

t

），其中t∈（0，+∞），
所以

OP

•

OD

=-4-2t-

2

t

=-4-2（t+

1

t

）≤-4-4=-8，
当且仅当t=

1

t

=1时等号成立；

点评：本题考查了向量的坐标运算以及向量垂直的性质运用，还有利用基本不等式求最值，属于中档题．