Question

8．数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n，则{a_n}的前100项和为5100．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n，当n=2k（k∈N^*）时，a_2k+1+a_2k=4k，a_2k-a_2k-1=4k-2．可得：a_2k+1+a_2k-1=2，a_2k+2+a_2k=8k+2．通过分组利用等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n，
当n=2k（k∈N^*）时，a_2k+1+a_2k=4k，
a_2k-a_2k-1=4k-2．
∴a_2k+1+a_2k-1=2，a_2k+2+a_2k=8k+2．
则{a_n}的前100项和=（a₁+a₃+…+a₉₉）+（a₂+a₄+…+a₁₀₀）=25×2+[（8×1+2）+（8×3+2）+…+（8×49+2）]
=50+$\frac{25×（10+394）}{2}$
=5100．
故答案为：5100．

点评 本题考查了数列的递推关系、分组求和方法、等差数列的求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．