Question

18．设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调函数，则满足f（x）=f（$\frac{x+2015}{x+2016}$）的所有x之和为（　　）

• A． -4031
• B． -4032
• C． -4033
• D． -4034

Answer 1

分析 由题意可得 x=$\frac{x+2015}{x+2016}$，或-x=$\frac{x+2015}{x+2016}$，求得x²+2015x-2015=0或x²+2017x+2015=0，再利用韦达定理求得结论．

解答 解：：∵f（x）为偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数，∵f（x）=f（$\frac{x+2015}{x+2016}$），
∴x=$\frac{x+2015}{x+2016}$，或-x=$\frac{x+2015}{x+2016}$，
∴x²+2015x-2015=0或x²+2017x+2015=0，
此时x₁+x₂=-2015，或x₃+x₄=-2017，
∴满足f（x）=f（$\frac{x+2015}{x+2016}$）的所有x之和为-2015-2017=-4032，
故选：B．

点评 本题考查函数性质的综合应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．