Question

给出下列命题：
（1）函数f（x）=4sin（2x+）的图象关于点（-）对称；
（2）函数g（x）=-3sin（2x-）在区间（-）内是增函数；
（3）函数h（x）=sin（x-）是偶函数；
（4）存在实数x，使sinx+cosx=．
其中正确的命题的序号是________．

Answer 1

解：当x=-时，函数f（x）=4sin（2x+）=0，故点（-）是函数图象与x轴的交点，故函数图象关于点（-）对称，故（1）正确．
（2）由于函数g（x）=-3sin（2x-），由 2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，
可得kπ+≤x≤kπ+，k∈z，取k=-1，得≤x≤-，
故函数的增区间为[，-]，故（2）不正确．
（3）由于h（x）=sin（-）=cos，从而h（-x）=h（x），得h（x）是偶函数，∴命题（3）正确；
（4）中令y=sinx+cosx=sin（x+）则-≤y≤，
∵-≤≤，∴存在实数x，使得sinx+cosx=；即（4）正确．
其中正确的命题的序号是 （1）（3）（4）．
故答案为：（1）（3）（4）．
分析：根据点（-）是函数图象与x轴的交点，故函数图象关于点（-）对称，故（1）正确；
由 2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，可得y=sin（2x-） 的增区间，可得（2）不正确；
对于（3），利用诱导公式化简为y=-cosx，该函数是偶函数；（3）正确；
（4）根据辅助角公式，我们可将sinx+cosx化为 sin（x+），再由正弦型函数的值域，可以判断（4）的真假．
点评：本题主要考查正弦函数的奇偶性、对称性、单调性，判断命题的真假，以及y=Asin（ωx+∅）图象与性质，掌握y=Asin（ωx+∅）图象和性质是解题的关键．属于中档题．