Question

13．已知数列{a_n}满足a₁=2，且 a_n+1 =2a_n +2ⁿ⁺¹（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过对a_n+1 =2a_n +2ⁿ⁺¹（n∈N^*）两边同时除以2ⁿ⁺¹可知$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1，进而可知数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首项、公差均为1的等差数列，计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1 =2a_n +2ⁿ⁺¹（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1，
又∵$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=$\frac{2}{2}$=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首项、公差均为1的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n，
∴a_n=n•2ⁿ．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．