Question

设椭圆 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，右焦点为F（c，0），方程ax²+bx+c=0的两个实数根分别为x₁和x₂，则点P（x₁，x₂）必在（　　）

• A、圆x²+y²=3内
• B、圆x²+y²=3上
• C、圆x²+y²=3外
• D、以上三种都可能

Answer 1

分析：由e=

c

a

=

1

2

，知

b

a

=

3

2

，由x₁，x₂是方程ax²+bx-c=0的两个实根，知x1+x2=-

b

a

=-

3

2

，x1x2=-

c

a

=-

1

2

，所以x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=

3

4

+1=

7

4

＜3，由此知点P（x₁，x₂）必在圆x²+y²=3内．

解答：解：∵e=

c

a

=

1

2

，∴

b

a

=

3

2

，
∵x₁，x₂是方程ax²+bx-c=0的两个实根，
∴由韦达定理：x1+x2=-

b

a

=-

3

2

，x1x2=-

c

a

=-

1

2

，
所以x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
=

3

4

+1=

7

4

＜3，
所以点P（x₁，x₂）必在圆x²+y²=3内．
故选A．

点评：本题考查点和圆的位置关系，解题时要注意韦过定理和椭圆离心率的合理运用．