Question

已知函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．
（1）求a的值；
（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立，求实数 k的最小值．

Answer 1

解：（1）f′（x）=1-=，（x+a＞0）
令f′（x）=0，可得x=1-a＞-a，
令f′（x）＞0，x＞1-a；f（x）为增函数；
f′（x）＜0，-a＜x＜1-a，f（x）为减函数；
∴x=1-a时，函数取得极小值也是最小值，
∵函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，
∴f（1-a）=1-a=0，得a=1；
（2）当k≤0时，取x=1，有f（1）=1-ln2＞0，故k≤0不合题意；
当k＞0时，令g（x）=f（x）-kx²，即g（x）=x-ln（x+1）-kx²，
求导函数可得g′（x）=，
令g′（x）=0，可得x₁=0，x₂=＞-1，
当k≥时，，g′（x）＜0，在（0，+∞）上恒成立，g（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴g（x）≤g（0）=0，
∴对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立；
当0＜k＜时，x₂=＞0，
g（x）在（0，）上g′（x）＞0，g（x）为增函数；
g（x）在（，+∞）上g′（x）＜0，g（x）为减函数；
因此存在x₀∈（0，）使得g（x₀）≥g（0）=0，
可得x₀-ln（x₀+1）≥kx₀²，即f（x₀）≥kx₀²，与题矛盾；
∴综上：k≥时，对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立，
∴实数 k的最小值为：；
分析：（1）对f（x）进行求导，已知f（x）的最小值为0，可得极小值也为0，得f′（0）=0，从而求出a的值；
（2）由题意任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立，可以令g（x）=f（x）-x²，求出g（x）的最大值小于0即可，可以利用导数研究g（x）的最值；
点评：此题考查函数的恒成立问题，第二问构造新函数，将问题转化为g（x）的最大值小于等于0，即可，这种转化的思想在高考中经常会体现，我们要认真体会；