Question

4．已知实数x，y满足3x²+2y²=1，求：
（1）x²+y²的取值范围；
（2）xy的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可以首先将所给曲线化为标准方程，然后，借助于椭圆的范围，利用函数的知识求解；
（2）可以直接设椭圆的参数方程，然后，结合三角函数的最值求解其范围．

解答 解：（1）由已知，得
$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{3}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}=1$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤x≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵3x²+2y²=1，
∴${y}^{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}{x}^{2}$，
∴x²+y²=$\frac{1}{2}$（1-x²），
∵-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤x≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴0≤x²$≤\frac{1}{3}$，
∴x²+y²的最大值为$\frac{1}{2}$，最小值为$\frac{1}{3}$．
∴x²+y²的取值范围为[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]．
（2）根据（1）设曲线的参数方程为：
$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}cosθ}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ}\end{array}\right.$，
∴xy=$\frac{\sqrt{6}}{6}$sinθcosθ=$\frac{\sqrt{6}}{12}$sin2θ，
∴xy∈[-$\frac{\sqrt{6}}{12}$，$\frac{\sqrt{6}}{12}$]．

点评 本题重点考查了椭圆的参数方程、椭圆的简单的几何性质等知识，属于中档题．