Question

【题目】设集合，若X是的子集，把X中所有元素的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为的奇（偶）子集．

（1）写出S4的所有奇子集；

（2）求证：的奇子集与偶子集个数相等；

（3）求证：当n≥3时，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）.

（2）对于的奇子集，

当时，取；

当时，取，则为的偶子集.

反之，若为的偶子集，

当时，取；

当时，取，则为的奇子集.

的奇子集与偶子集之间建立了一一对应的关系，所以的奇子集和偶子集的个数相等.

（3）对于任意，当时，含的的子集共有个.

由（2）可知，对每个数，在奇子集与偶子集中，所占的个数是相等的；

当时，将（2）中的1换成3即可.可知在奇子集与偶子集中所占的个数是相等的.

则每个元素在奇子集与偶子集中所占的个数相等.

所以Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.