【题目】在四棱锥中,底面是边长为的菱形,,.
(1)证明:平面;
(2)若,求二面角 的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
试题分析:(1)连接,取中点,连接,然后根据等腰三角形的性质得出,,从而推出平面,进而利用线面垂直的性质定理结合判定定理可使问题得证;(2)以为原点,建立空间直角坐标系,然后求得相关点的坐标与向量,由此求得平面与平面的法向量,从而利用空间夹角公式求解.
试题解析:连接AC,则△ABC和△ACD都是正三角形,取BC中点E,连接AE,PE,
因为E为BC的中点,所以在△ABC中,,
因为PB=PC,所以BC⊥PE,
又因为PE∩AE=E,所以BC⊥平面PAE,
又PA平面PAE,所以BC⊥PA.
同理CD⊥PA,
又因为BC∩CD=C,所以PA⊥平面ABCD. …6
(2)如图,以A为原点,建立空间直角坐标系A-xyz,
则B(,-1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),=(0,2,-2),=(-,3,0),
设平面PBD的法向量为m=(x,y,z),则即
取平面PBD的法向量m=(,1,1), …9分
取平面PAD的法向量n=(1,0,0),则cosm,n==,
所以二面角A-PD-B的余弦值是. …12分
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【题目】在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价为每件14元;②该店月销量Q(百件)与销量价格P(元)的关系如图所示;③每月需各种开支2 000元.
(1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最大余额;
(2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?
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【题目】重庆市某厂党支部10月份开展“两学一做”活动,将10名党员技工平均分为甲,乙两组进行技能比赛.要求在单位时间内每个技工加工零件若干,其中合格零件的个数如下表:
1号 | 2号 | 3号 | 4号 | 5号 | |
甲组 | 4 | 5 | 7 | 9 | 10 |
乙组 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
(1)分别求出甲,乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差,并由此分析两组技工的技术水平;
(2)质检部门从该车间甲,乙两组中各随机抽取1名技工,对其加工的零件进行检测,若两人完成合格零件个数之和超过12件,则称该车间“质量合格”,求该车间“质量合格”的概率.
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【题目】设集合,若X是的子集,把X中所有元素的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0),若X的容量为奇(偶)数,则称X为的奇(偶)子集.
(1)写出S4的所有奇子集;
(2)求证:的奇子集与偶子集个数相等;
(3)求证:当n≥3时,的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.
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【题目】已知定点和直线上的动点,线段的垂直平分线交直线于点,设点的轨迹为曲线.
(I)求曲线的方程;
(II)直线交轴于点,交曲线于不同的两点,点关于轴的对称点为,点关于轴的对称点为,求证:三点共线.
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【题目】某企业生产A、B两种产品,根据市场调查,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:单位是万元).
图1图2
(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数,写出它们的函数关系式;
(2)现企业有20万元资金全部投入A、B两种产品的生产,问:怎样分配这20万元资金,能使获得的利润最大,其最大利润是多少万元?
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