【题目】已知抛物线
，圆
.
（1）若抛物线
的焦点
在圆上，且
为 和圆 
的一个交点，求
；
（2）若直线
与抛物线和圆分别相切于点
，求
的最小值及相应
的值.
【答案】（1）
；（2）
的最小值为
，此时
.
【解析】
试题分析：（1）首先求得焦点
的坐标，由此求得抛物线的方程，然后联立抛物线与圆的方程求得
，最后利用抛物线的定义求得
的长；（2）设
，由此设出直线切线
的方程，然后根据
求得
与
的关系式，从而求得
关于的关系式，进而利用基本不等式求得其最小值，以及的值.
试题解析：（1）由题意得F(1，0)，从而有C：x2＝4y.
解方程组，得yA＝－2，所以|AF|＝－1. …5分
（2）设M(x0，y0)，则切线l：y＝(x－x0)＋y0，
整理得x0x－py－py0＝0. …6分
由|ON|＝1得|py0|＝＝，
所以p＝且y－1＞0， …8分
所以|MN|2＝|OM|2－1＝x＋y－1＝2py0＋y－1
＝＋y－1＝4＋＋(y－1)≥8，当且仅当y0＝时等号成立，
所以|MN|的最小值为2，此时p＝. …12分
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的离心率为
，以
为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）已知点
，和平面内一点
，过点
任作直线
与椭圆
相交于
两点，设直线
的斜率分别为
，
，试求
满足的关系式.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】20名同学参加某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求频率分布直方图中
的值；
（Ⅱ）分别求出成绩落在
， 
中的学生人数；
（Ⅲ）从成绩在
的学生中任选2人，求此2人的成绩都在
中的概率.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是( )
A．多于4个 B．4个
C．3个 D．2个
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】设函数
．
（1）当
时，
在
上恒成立，求实数
的取值范围；
（2）当
时，若函数
在
上恰有两个不同的零点，求实数
的取值范围；
（3）是否存在常数
，使函数
和函数
在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为
，且成绩分布在
，分数在
以上（含）的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取
人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.
（1）求
的值，并计算所抽取样本的平均值
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）填写下面的
列联表，能否有超过
的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？
文科生 | 理科生 | 合计 | |
获奖 |
| ||
不获奖 | |||
合计 |
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附表及公式：
，其中
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【题目】为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．如图茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．
（1）现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；
（2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀，请填写
列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．
甲班 | 乙班 | 合计 | |
优秀 | |||
不优秀 | |||
合计 |
参考公式与临界值表： 
．
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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