【题目】设函数.
(1)当时,在上恒成立,求实数的取值范围;
(2)当时,若函数在上恰有两个不同的零点,求实数的取值范围;
(3)是否存在常数,使函数和函数在公共定义域上具有相同的单调性?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
试题分析:(1)首先将问题转化为在上恒成立,然后令,从而通过求导研究函数的单调性,求得其最小值,进而求得的取值范围;(2)首先将问题转化为在上恰有两个不同的零点,然后令,从而通过求导研究函数的单调性,求得其最小值,进而求得的取值范围;(3)首先分别求得函数和函数的单调区间,然后根据与具有相同的单调性建立关于的不等式组,由此求得的值.
试题解析:(1)当时,由得,
∵,∴,∴有在上恒成立,
令,由得,
当,∴在上为减函数,在上为增函数,
∴,∴实数的取值范围为;
(2)当时,函数,
在上恰有两个不同的零点,即在上恰有两个不同的零点,
令,则,
当,;当,,
∴在上单减,在上单增,,
又,如图所示,所以实数的取值范围为.
(3)函数和函数在公共定义域为,
∴在单调递减,在上单调递增,
函数,
时,恒成立,在上单调递增,不合题意,
时,当时,当时,,
在上单调递减,在上为单调递增,
要使与具有相同的单调性,须,解得.
存在常数时,使与具有相同的单调性.
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【题目】根据某电子商务平台的调查统计显示,参与调查的位上网购物者的年龄情况如下图.
(1)已知、、三个年龄段的上网购物者人数成等差数列,求的值;
(2)该电子商务平台将年龄在之间的人群定义为高消费人群,其他的年龄段定义为潜在消费人群,为了鼓励潜在消费人群的消费,该平台决定发放代金券,高消费人群每人发放元的代金券,潜在消费人群每人发放元的代金券.已经采用分层抽样的方式从参与调查的位上网购物者中抽取了人,现在要在这人中随机抽取人进行回访,求此三人获得代金券总和的分布列与数学期望.
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【题目】甲、乙两位射击运动员,在某天训练中已各射击10次,每次命中的环数如下:
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
(Ⅰ)通过计算估计,甲、乙二人的射击成绩谁更稳;
(Ⅱ)若规定命中8环及以上环数为优秀,请依据上述数据估计,在第11次射击时,甲、乙人分别获得优秀的概率.
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【题目】某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图中(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺锈最简单的四个图案,这些图案都是由小正方向构成,小正方形数越多刺锈越漂亮,向按同样的规律刺锈(小正方形的摆放规律相同),设第个图形包含个小正方形
(1)求的值
(2)求出的表达式
(3)求证:当时,
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【题目】候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为:v=a+blog3 (其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a,b的值;
(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线,曲线为参数), 以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)若射线分别交于两点, 求的最大值.
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【题目】某市统计局就2015年毕业大学生的月收入情况调查了10000人,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图所示,每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示.
(1)求毕业大学生月收入在的频率;
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数;
(3)为了分析大学生的收入与所学专业、性别等方面的关系,必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析,则月收入在的这段应抽取多少人?
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【题目】如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AA1=1,E为BC中点.
(1)求证:C1D⊥D1E;
(2)在棱AA1上是否存在一点M,使得BM∥平面AD1E?若存在,求的值,若不存在,说明理由;
(3)若二面角B1AED1的大小为90°,求AD的长.
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