【题目】某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图中(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺锈最简单的四个图案,这些图案都是由小正方向构成,小正方形数越多刺锈越漂亮,向按同样的规律刺锈(小正方形的摆放规律相同),设第个图形包含
个小正方形
(1)求的值
(2)求出的表达式
(3)求证:当时,
【答案】(1)61(2)f(n)=2n2﹣2n+1;(3)见解析
【解析】试题分析:(1)根据列举法找规律,得到的值;(2)同样根据列举法找规律
,根据累加法得到
的表达式;(3)根据(2)的结果,代入可得
,利用累加法求和,再根据数列的单调性证明不等式.
试题解析:解:(1)f(1)=1,f(2)=1+4=5,
f(3)=1+4+8=13,f(4)=1+4+8+12=25,
f(5)=1+4+8+12+16=41.f(6)=1+4+8+12+16+20=61;
(2)∵f(2)﹣f(1)=4=4×1,
f(3)﹣f(2)=8=4×2,
f(4)﹣f(3)=12=4×3,
f(5)﹣f(4)=16=4×4,
由上式规律得出f(n+1)﹣f(n)=4n.
∴f(n)﹣f(n﹣1)=4(n﹣1),
f(n﹣1)﹣f(n﹣2)=4(n﹣2),
f(n﹣2)﹣f(n﹣3)=4(n﹣3),
…
f(2)﹣f(1)=4×1,
∴f(n)﹣f(1)=4[(n﹣1)+(n﹣2)+…+2+1]
=2(n﹣1)n,
∴f(n)=2n2﹣2n+1;
(2)证明:当n≥2时,=
=
(
﹣
),
∴+
+
+…+
=1+
(1﹣
+
﹣
+…+
﹣
)
=1+(1﹣
)=
﹣
.
由于g(n)=﹣
为递增数列,
即有g(n)≥g(1)=1,
且g(n)<,
则+
+
+…+
<
成立.
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【题目】定义:在数列中,若
为常数)则称
为“等方差数列”,下列是对“等方差数列”的有关判断( )
①若是“等方差数列”,在数列
是等差数列;
②是“等方差数列”;
③若是“等方差数列”,则数列
为常)也是“等方差数列”;
④若既是“等方差数列”又是等差数列,则该数列是常数数列.
其中正确命题的个数为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】在人群流量较大的街道,有一中年人吆喝“送钱”,只见他手拿一黑色小布袋,袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完成相同),旁边立着一块小黑板写道:
摸球方法:从袋中随机摸出3个球,若摸得同一颜色的3个球,摊主送给摸球者5元钱;若摸得非同一颜色的3个球,摸球者付给摊主1元钱.
(1)摸出的3个球为白球的概率是多少?
(2)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少?
(3)假定一天中有100人次摸奖,试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱?
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【题目】20名同学参加某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:
(Ⅰ)求频率分布直方图中的值;
(Ⅱ)分别求出成绩落在,
中的学生人数;
(Ⅲ)从成绩在的学生中任选2人,求此2人的成绩都在
中的概率.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是
,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为
轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线
的参数方程是
(
为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程和直线
的的普通方程;
(2)设点,若直线
与曲线
交于
两点,且
,求实数
的值.
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【题目】若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是( )
A.多于4个 B.4个
C.3个 D.2个
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【题目】设函数.
(1)当时,
在
上恒成立,求实数
的取值范围;
(2)当时,若函数
在
上恰有两个不同的零点,求实数
的取值范围;
(3)是否存在常数,使函数
和函数
在公共定义域上具有相同的单调性?若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】在某校举行的航天知识竞赛中,参与竞赛的文科生与理科生人数之比为,且成绩分布在
,分数在
以上(含
)的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取
人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图(见下图).
(1)求的值,并计算所抽取样本的平均值
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)填写下面的列联表,能否有超过
的把握认为“获奖与学生的文理科有关”?
文科生 | 理科生 | 合计 | |
获奖 | |||
不获奖 | |||
合计 |
附表及公式:
,其中
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【题目】已知函数f(x)=cos xsin 2x,下列结论中正确的是________(填入正确结论的序号).
①y=f(x)的图象关于点(2π,0)中心对称;
②y=f(x)的图象关于直线x=π对称;
③f(x)的最大值为;
④f(x)既是奇函数,又是周期函数.
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