Question

【题目】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，E为BC中点．

(1)求证：C1D⊥D1E；

(2)在棱AA1上是否存在一点M，使得BM∥平面AD1E？若存在，求的值，若不存在，说明理由；

(3)若二面角B1AED1的大小为90°，求AD的长．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

解：(1)证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，

设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，1，0)，B1(a，1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，E，∴＝(0，－1，－1)，＝，

∴C1D⊥D1E。

(2)设＝h，则M(a，0，h)，

∴＝(0，－1，h)，＝，＝(－a，0，1)，

设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，

∴平面AD1E的一个法向量为n＝(2，a，2a)，

∵BM∥平面AD1E，

∴⊥n，即·n＝2ah－a＝0，∴h＝。

即在AA1上存在点M，使得BM∥平面AD1E，此时＝。

(3)连接AB1，B1E，设平面B1AE的法向量为m＝(x′，y′，z′)，＝，＝(0，1，1)，

∴平面B1AE的一个法向量为m＝(2，a，－a)．

∵二面角B1AED1的大小为90°，

∴m⊥n，∴m·n＝4＋a2－2a2＝0，

∵a>0，∴a＝2，即AD＝2。