Question

【题目】已知椭圆的离心率为，以为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，和平面内一点，过点任作直线与椭圆相交于两点，设直线的斜率分别为，，试求满足的关系式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）因为离心率，所以，又以为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，所以，再结合，求得，，即求得椭圆标准方程；

（2）①当直线斜率不存在时，直线，直线与椭圆的交点，，所以，又，所以，所以的关系式为.②当直线的斜率存在时，设点，设直线，联立椭圆整理得：，根系关系略，所以化简得，结合韦达定理得，所以，所以的关系式为.

试题解析：（1）因为离心率，所以，

又因为以为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，

所以，即

因为，

所以

所以椭圆标准方程；

（2）①当直线斜率不存在时，由，解得，不妨设，，

因为，所以，所以的关系式为.

②当直线的斜率存在时，设点，设直线，联立椭圆整理得：，根系关系略，所以

所以，所以的关系式为.