Question

19．求一个复数z，使z-$\frac{25}{z}$为纯虚数，且|z-3|=4．

Answer 1

分析 设复数z=x+yi，x、y∈R，i是虚数单位，根据题意列出方程组，求出x、y的值即可．

解答 解：设复数z=x+yi，x、y∈R，i是虚数单位，
且z-$\frac{25}{z}$=x+yi-$\frac{25}{x+yi}$=（x-$\frac{25x}{{x}^{2}{+y}^{2}}$）+（y+$\frac{25y}{{x}^{2}{+y}^{2}}$）i为纯虚数，
∴x-$\frac{25x}{{x}^{2}{+y}^{2}}$=0①，且y+$\frac{25y}{{x}^{2}{+y}^{2}}$≠0②，
又|z-3|=4，即（x-3）²+y²=16③；
由①、③组成方程组，解得x=0，y=±$\sqrt{7}$，或x=3，y=±4；
∴z=±$\sqrt{7}$i，或z=3±4i．

点评 本题考查了复数的概念与代数运算问题，是基础题目．