Question

【题目】某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

ωx+φ	0		π		2π
x
f（x）	0	3	0	﹣3	0

（1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）若将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求当x∈[﹣ ， ]时，函数g（x）的值域；
（3）若将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若=h（x）图象的一个对称中心为（ ），求θ的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据表中已知数据，解得A=3，ω=2，φ= ，

数据补全如下表：

ωx+φ	0		π		2π
x	﹣
f（x）	0	3	0	﹣3	0

函数表达式为f（x）=3sin（2x+ ）

（2）解：将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，

得到图象对于的函数解析式为：g（x）=3sin（x+ ）．

由x∈[﹣ ， ]，可得：x+ ∈[﹣ ， ]，可得：sin（x+ ）∈[﹣ ，1]，

可得：函数g（x）=3sin（x+ ）∈[﹣ ，3]

（3）解：若将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若h（x）图象的一个对称中心为（ ），

由（Ⅰ）知f（x）=3sin（2x+ ），得g（x）=3sin（2x+2θ+ ）．

因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．

令2x+2θ+ =kπ，解得x= ﹣θ，k∈Z．

由于函数y=g（x）的图象关于点（ ，0）成中心对称，令： ﹣θ= ，

解得θ= ﹣ ，k∈Z．由θ＞0可知，当k=1时，θ取得最小值

【解析】（1）由表中数据列关于ω、φ的二元一次方程组，求得A、ω、φ的值，得到函数解析式，进一步完成数据补充．（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求g（x），利用正弦函数的性质可求其值域．（3）由（1）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g（x），令2x+2θ+ =kπ，解得x= ﹣θ，k∈Z．令： ﹣θ= ，结合θ＞0即可解得θ的最小值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象(描点法及其特例—五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）)，还要掌握函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换(图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象)的相关知识才是答题的关键．