Question

18．若直线y=2x+m与曲线$y=3+\sqrt{4x-{x^2}}$有公共点，则m的取值范围是$[-5，2\sqrt{5}-1]$．

Answer 1

分析 曲线$y=3+\sqrt{4x-{x^2}}$表示以点（2，3）为圆心，2为半径的圆的上半圆，而直线y=2x+m的斜率为2，截距为m，在同一个坐标系中作出它们的图象，数形结合可得．

解答 解：$y=3+\sqrt{4x-{x^2}}$理可得（x-2）²+（y-3）²=4，
故曲线$y=3+\sqrt{4x-{x^2}}$表示以点（2，3）为圆心，2为半径的圆的上半圆，
而直线y=2x+m的斜率为2，截距为m，在同一个坐标系中作出它们的图象：
直线与曲线相切可得$\frac{|1+m|}{\sqrt{5}}$=2，解得m=2$\sqrt{5}$-1，或m=-2$\sqrt{5}$-1，（舍去）
直线过点（4，3），m=-5
故直线y=2x+m与曲线$y=3+\sqrt{4x-{x^2}}$有公共点，m的取值范围是$[-5，2\sqrt{5}-1]$．
故答案为：$[-5，2\sqrt{5}-1]$．

点评 本题考查直线与圆相交的性质，数形结合是解决问题的关键，属中档题．