Question

8．定义在R上的函数f（x）满足$f（x+\frac{3}{2}）=f（x-\frac{3}{2}）$，f（x）+f（-x）=0且f（1）=0，求x∈[0，6]上至少有7个零点．

Answer 1

分析 确定函数是奇函数且关于x=$\frac{3}{2}$对称，利用f（0）=0，f（1）=0，即可得出结论．

解答 解：∵定义在R上的函数f（x）满足$f（x+\frac{3}{2}）=f（x-\frac{3}{2}）$，f（x）+f（-x）=0，
∴函数是奇函数且关于x=$\frac{3}{2}$对称，
∴f（0）=0，
∵f（1）=0，
∴f（-1）=0，
∴f（2）=f（1）=0，f（3）=f（0）=0，f（4）=f（-1）=0，f（5）=f（-2）=0，f（6）=f（-3）=0
∴x∈[0，6]上至少有7个零点，
故答案为：7．

点评 本题考查函数的奇偶性与对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．