Question

设不等式x²≤5x-4的解集为A．
（1）求集合A；
（2）设关于x的不等式x²-（a+2）x+2a≤0（a≥2）的解集为M．若条件p：x∈M，条件q：x∈A，且p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：充分条件,一元二次不等式的解法

专题：简易逻辑

分析：（1）不等式x²≤5x-4，化为x²-5x+4≤0，因式分解为（x-1）（x-4）≤0，解得即可；
（2）不等式x²-（a+2）x+2a≤0，化为（x-2）（x-a）≤0，对a分类讨论：可得M=[2，a]．由于p是q的充分条件，可得2≤a≤4．

解答： 解：（1）不等式x²≤5x-4，化为x²-5x+4≤0，因式分解为（x-1）（x-4）≤0，解得1≤x≤4，
∴解集A=[1，4]．
（2）不等式x²-（a+2）x+2a≤0，化为（x-2）（x-a）≤0，
当a＞2时，解集M=[2，a]．
当a=2时，解集M={2}．
综上可得：不等式x²-（a+2）x+2a≤0（a≥2）的解集M=[2，a]．
∵p是q的充分条件，
∴2≤a≤4，
∴实数a的取值范围是[2，4]．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法、充分条件、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．