Question

函数f（x）是定义在[0，1]上，满足f(x)=2f(

x

2

)且f（1）=1，在每个区间(

1

2i

，

1

2i-1

]（i=1，2，3，…）上，y=f（x）的图象都是平行于x轴的直线的一部分．
（1）求f（0）及f(

1

2

)，f(

1

4

)的值，并归纳出f(

1

2i

)（i=1，2，3，…）的表达式；
（2）设直线x=

1

2i

，x=

1

2i-1

，x轴及y=f（x）的图象围成的矩形的面积为a_i（i=1，2，3，…），求a₁，a₂及

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)的值．

Answer 1

分析：（1）令式中的x=0，代入可得f（0），再令x=1，可得f（

1

2

），令x=

1

2

可得f（

1

4

），归纳可得；
（2）由题意可得ai=

1

22i-1

，由等比数列的求和公式可求和，取极限即可．

解答：解：（1）由题意可得f（0）=2f（0），故f（0）=0，
同理可得f（1）=2f（

1

2

），解得f(

1

2

)=

1

2

，
所以f（

1

2

）=2f（

1

4

），故f(

1

4

)=

1

4

，
由此可归纳出：f(

1

2i

)=

1

2i

（i=1，2，3，…）
（2）当

1

2i

＜x≤

1

2i-1

时，取f(x)=

1

2i-1

，
∴a1=

1

2

，a2=

1

8

，ai=

1

22i-1

（i=1，2，3，…）
所以{a_n}是首项为

1

2

，公比为

1

4

的等比数列，
∴

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

lim

n→∞

1 2 (1- 1 4n )

1- 1 4

=

1 2

3 4

=

2

3

点评：本题考查归纳推理，以及数列的极限，属基础题．