Question

（2012•甘肃一模）（文科）设函数f(x)=-

1

3

x3+2ax2-3a2x+b(0＜a＜1)．
（1）求函数f（x）的单调区间，并求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）若当x∈[a+1，a+2]时，不等式|f'（x）|≤a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，根据0＜a＜1，利用导数的正负可得函数的单调区间，由此可得函数f（x）的极值；
（2）求导函数，确定函数f′（x）在[a+1，a+2]上单调递减，求出函数的最值，将不等式|f'（x）|≤a恒成立，转化为不等式组，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）求导函数可得f′（x）=-（x-3a）（x-a）
∵0＜a＜1，∴由f′（x）＞0可得a＜x＜3a；由f′（x）＞0可得x＜a或x＞3a
∴f（x）的单调递增区间为（a，3a），单调递减区间为（-∞，a）和（3a，+∞）
∴函数f（x）的极大值为f（3a）=b，极小值为f（a）=-

4

3

a3+b
（2）求导函数可得f′（x）=-（x-2a）²+a²，
∵0＜a＜1，∴a+1＞2a
∴函数f′（x）在[a+1，a+2]上单调递减
∴f′（x）_max=f′（a+1）=2a-1，f′（x）_min=f′（a+2）=4a-4
∵不等式|f'（x）|≤a恒成立，
∴

2a-1≤a 4a-4≥-a

∴

4

5

≤a≤1
∵0＜a＜1
∴实数a的取值范围是[

4

5

，1)．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查不等式恒成立问题，属于中档题．