Question

8．已知函数f（x）=（2x-4）e^x+a（x+2）²．（a∈R，e为自然对数的底）
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）当x≥0时，不等式f（x）≥4a-4恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；
（Ⅱ）通过讨论a的范围，求出函数f（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，有f（x）=（2x-4）e^x+（x+2）²，
则f'（x）=（2x-2）e^x+2x+4⇒f'（0）=-2+4=2．-------（3分）
又因为f（0）=-4+4=0，-------（4分）
∴曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y-0=2（x-0），即y=2x．-------（6分）
（Ⅱ）因为f'（x）=（2x-2）e^x+2a（x+2），令g（x）=f'（x）=（2x-2）e^x+2a（x+2）
有g'（x）=2x•e^x+2a（x≥0）且函数y=g'（x）在x∈[0，+∞）上单调递增-------（8分）
当2a≥0时，有g'（x）≥0，此时函数y=f'（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，则f'（x）≥f'（0）=4a-2
（ⅰ）若4a-2≥0即$a≥\frac{1}{2}$时，有函数y=f（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，
则f（x）_min=f（0）=4a-4恒成立；-------（9分）
（ⅱ）若4a-2＜0即$0≤a＜\frac{1}{2}$时，则在x∈[0，+∞）存在f'（x₀）=0，
此时函数y=f（x）在x∈（0，x₀）上单调递减，x∈（x₀，+∞）上单调递增且f（0）=4a-4，
所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；-------（10分）
当2a＜0时，有g'（0）=2a＜0，则在x∈[0，+∞）存在g'（x₁）=0，
此时x∈（0，x₁）上单调递减，x∈（x₁，+∞）上单调递增，
所以函数y=f'（x）在x∈[0，+∞）上先减后增．
又f'（0）=-2+4a＜0，则函数y=f（x）在x∈[0，+∞）上先减后增且f（0）=4a-4．
所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；-------（11分）
综上所述，实数a的取值范围为$a≥\frac{1}{2}$．-------（12分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．